8.4 Modèles de moyenne mobile Au lieu d'utiliser les valeurs passées de la variable de prévision dans une régression, un modèle de moyenne mobile utilise des erreurs de prévision passées dans un modèle de type régression. Y c et theta e theta e dots theta e, où et est le bruit blanc. Nous appelons cela un modèle MA (q). Bien sûr, nous n'observons pas les valeurs de et, donc ce n'est pas vraiment une régression au sens usuel. Notez que chaque valeur de yt peut être considérée comme une moyenne mobile pondérée des dernières erreurs de prévision. Toutefois, les modèles de moyenne mobile ne doivent pas être confondus avec le lissage moyen mobile décrit au chapitre 6. Un modèle de moyenne mobile est utilisé pour prévoir les valeurs futures, tandis que le lissage moyen mobile est utilisé pour estimer le cycle tendanciel des valeurs passées. Figure 8.6: Deux exemples de données provenant de modèles de moyenne mobile avec des paramètres différents. A gauche: MA (1) avec y t 20e t 0.8e t-1. A droite: MA (2) avec y t e t - e t-1 0.8e t-2. Dans les deux cas, e t est le bruit blanc normalement distribué avec zéro moyen et variance un. La figure 8.6 présente certaines données d'un modèle MA (1) et d'un modèle MA (2). Modification des paramètres theta1, points, thetaq résultats dans différents modèles de séries chronologiques. Comme pour les modèles autorégressifs, la variance du terme d'erreur et ne changera que l'échelle de la série, et non pas les motifs. Il est possible d'écrire un modèle AR (p) stationnaire comme modèle MA (infty). Par exemple, en utilisant une substitution répétée, nous pouvons le démontrer pour un modèle AR (1): begin php phi1y ph php phi1y phi1y phi1y phi1y 1, la valeur de phi1k diminue à mesure que k devient plus grand. Ainsi, nous obtenons finalement un processus de MA (infty) et yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots. Le résultat inverse se vérifie si l'on impose certaines contraintes aux paramètres MA. Ensuite, le modèle MA est appelé inversible. C'est-à-dire que nous pouvons écrire tout processus inverse MA (q) comme un processus AR (infty). Les modèles Invertible ne sont pas simplement pour nous permettre de convertir des modèles MA en modèles AR. Ils ont aussi quelques propriétés mathématiques qui les rendent plus faciles à utiliser dans la pratique. Les contraintes d'inversibilité sont similaires aux contraintes de stationnarité. Pour un modèle MA (1): -1lttheta1lt1. Pour un modèle MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-theta2 lt 1. Des conditions plus compliquées tiennent pour qge3. Une fois de plus, R prendra soin de ces contraintes lors de l'estimation des modèles. Moyennes de déplacement en R À ma connaissance, R n'a pas de fonction intégrée pour calculer les moyennes mobiles. En utilisant la fonction de filtrage, on peut écrire une fonction courte pour les moyennes mobiles: On peut alors utiliser la fonction sur n'importe quelle donnée: mav (data), ou mav (data, 11) si on veut spécifier un nombre différent de points de données Que les 5 tracés par défaut comme prévu: plot (mav (data)). En plus du nombre de points de données sur lesquels la moyenne, nous pouvons également changer l'argument des côtés des fonctions de filtre: sides2 utilise les deux côtés, sides1 utilise des valeurs passées seulement. Dans la deuxième colonne de ce tableau, une moyenne mobile de l'ordre 5 est affichée, fournissant une estimation du cycle-tendance. La première valeur dans cette colonne est la moyenne des cinq premières observations (1989-1993), la deuxième valeur dans la colonne 5-MA est la moyenne des valeurs 1990-1994 et ainsi de suite. Chaque valeur dans la colonne 5-MA est la moyenne des observations sur la période quinquennale centrée sur l'année correspondante. Il n'y a aucune valeur pour les deux premières années ou les deux dernières années parce que nous n'avons pas deux observations de part et d'autre. Dans la formule ci-dessus, la colonne 5-MA contient les valeurs de hat avec k2. Pour voir à quoi ressemble l'estimation du cycle tendanciel, nous la traçons avec les données originales de la figure 6.7. Parcelle 40 elecsales, principale quotResidential ventes d'électricité, ylab quotGWhquot. Notez comment la tendance (en rouge) est plus lisse que les données d'origine et capture le mouvement principal de la série chronologique sans toutes les fluctuations mineures. La méthode de la moyenne mobile ne permet pas d'estimer T où t est proche des extrémités de la série, de sorte que la ligne rouge ne s'étend pas aux bords du graphe de part et d'autre. Plus tard, nous utiliserons des méthodes plus sophistiquées d'estimation du cycle tendanciel qui permettent des estimations près des points finaux. L'ordre de la moyenne mobile détermine la finesse de l'estimation du cycle tendanciel. En général, un ordre plus grand signifie une courbe plus lisse. Le graphique suivant montre l'effet de la modification de l'ordre de la moyenne mobile pour les données sur les ventes résidentielles d'électricité. Les moyennes mobiles simples comme celles-ci sont ordinairement d'ordre impair (par exemple 3, 5, 7, etc.). C'est ainsi qu'elles sont symétriques: dans une moyenne mobile d'ordre m2k1, il y a k observations antérieures, k observations ultérieures et l'observation du milieu Qui sont moyennés. Mais si m était pair, il ne serait plus symétrique. Moyennes mobiles des moyennes mobiles Il est possible d'appliquer une moyenne mobile à une moyenne mobile. Une raison de faire ceci est de faire une moyenne mobile d'ordre pair symétrique. Par exemple, nous pourrions prendre une moyenne mobile de l'ordre 4, puis appliquer une autre moyenne mobile de l'ordre 2 aux résultats. Dans le tableau 6.2, cela a été fait pour les premières années de la production trimestrielle australienne de bière. Bière2 lt - fenêtre 40 ausbeer, début 1992 41 ma4 ltm 40 bière2, ordre 4. centre FALSE 41 ma2x4 ltm 40 bière2, ordre 4. centre VRAI 41 La notation 2x4-MA dans la dernière colonne signifie un 4-MA Suivi d'un 2-MA. Les valeurs de la dernière colonne sont obtenues en prenant une moyenne mobile de l'ordre 2 des valeurs de la colonne précédente. Par exemple, les deux premières valeurs dans la colonne 4-MA sont 451,2 (443410420532) 4 et 448,8 (410420532433) 4. La première valeur dans la colonne 2 x 4-MA est la moyenne de ces deux: 450,0 (451,2448,8) 2. Quand un 2-MA suit une moyenne mobile d'ordre pair (comme 4), il est appelé une moyenne mobile centrée de l'ordre 4. C'est parce que les résultats sont maintenant symétriques. Pour voir que c'est le cas, on peut écrire le 2x4-MA de la façon suivante: begin hat amp frac Bigfrac (y y y y) frac (y y y y) Big frac fray frac14y frac14y frac14y frac18y. End C'est maintenant une moyenne pondérée des observations, mais elle est symétrique. D'autres combinaisons de moyennes mobiles sont également possibles. Par exemple, on utilise souvent une MA 3 x 3, qui consiste en une moyenne mobile d'ordre 3 suivie d'une autre moyenne mobile d'ordre 3. En général, un ordre pair MA doit être suivi d'un ordre pair MA pour le rendre symétrique. De même, un ordre impair MA doit être suivi d'un ordre impair MA. Estimation du cycle tendanciel avec les données saisonnières L'utilisation la plus courante des moyennes mobiles centrées consiste à estimer le cycle tendanciel à partir des données saisonnières. Considérons le cas 2 x 4-MA: frac fray frac14y frac14y frac14y frac18y. Lorsqu'il est appliqué aux données trimestrielles, chaque trimestre de l'année reçoit le même poids que le premier et le dernier termes s'appliquent au même trimestre en années consécutives. Par conséquent, les variations saisonnières seront moyennées et les valeurs résultantes du chapeau auront peu ou pas de variation saisonnière restante. On obtiendrait un effet analogue en utilisant un mélange 2 fois 8-MA ou 2 fois 12-MA. En général, une m-MA de 2 x m est équivalente à une moyenne mobile pondérée d'ordre m1 avec toutes les observations pesant 1m sauf pour le premier et le dernier termes qui prennent des poids 1 (2m). Donc, si la période saisonnière est pair et d'ordre m, utilisez une m-MA 2 fois pour estimer le cycle-tendance. Si la période saisonnière est impaire et d'ordre m, utilisez un m-MA pour estimer le cycle de tendance. En particulier, un 2 x 12-MA peut être utilisé pour estimer le cycle tendanciel des données mensuelles et un 7-MA peut être utilisé pour estimer le cycle tendanciel des données quotidiennes. D'autres choix pour l'ordre de la MA entraîneront généralement des estimations du cycle de tendance étant contaminées par la saisonnalité dans les données. Exemple 6.2 Fabrication de matériel électrique La figure 6.9 montre une application de 2 x 12 mA appliquée à l'indice des ordres d'équipement électrique. Notez que la ligne lisse ne montre pas de saisonnalité, elle est presque identique au cycle de tendance illustré à la figure 6.2 qui a été estimé en utilisant une méthode beaucoup plus sophistiquée que les moyennes mobiles. Tout autre choix pour l'ordre de la moyenne mobile (à l'exception de 24, 36, etc.) aurait donné une ligne lisse qui montre certaines fluctuations saisonnières. Parcelle 40 elecequip, ylab QuotNouvelles commandes index. Col quotgrayquot, main Quot 41, 40 ma 40 elecequip, commande 12 41. col quotredquot 41 Moyennes mobiles pondérées Les combinaisons de moyennes mobiles se traduisent par des moyennes mobiles pondérées. Par exemple, la 2x4-MA discutée ci-dessus est équivalente à une pondérée 5-MA avec les poids donnés par frac, frac, frac, frac, frac. En général, un m-MA pondéré peut être écrit comme chapeau t somme k aj y, où k (m-1) 2 et les poids sont donnés par a, dots, ak. Il est important que les poids totalisent à un et qu'ils soient symétriques de sorte que aj a. Le m-MA simple est un cas particulier où tous les poids sont égaux à 1m. Un avantage majeur des moyennes mobiles pondérées est qu'elles donnent une estimation plus souple du cycle tendanciel. Au lieu des observations entrant et sortant du calcul au poids total, leurs poids sont augmentés lentement puis diminués lentement, ce qui donne une courbe plus lisse. Certains ensembles spécifiques de poids sont largement utilisés. Certaines d'entre elles figurent au tableau 6.3.
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